(组合游戏)SG函数与SG定理详解

转载请注明转自bestsort.cn


好了,进入主题,说一下SG函数和SG定理

什么是组合游戏

在竞赛中,组合游戏的题目一般有以下特点

  1. 题目描述一般为$A$,$B$ 2人做游戏
    2.$A$ $B$交替进行某种游戏规定的操作,每操作一次,选手可以在有限的操作(操作必须合法)集合中任选一种。
  2. 对于游戏的任何一种可能的局面,合法的操作集合只取决于这个局面本身,不取决于其它因素(跟选手,以前的所有操作无关)
  3. 如果当前选手无法进行合法的操作,则为负

举个例子现在有一个数0,小明小红2人每次可以轮流在当前数加 1~3,谁先凑到21谁就赢 这个描述就符合上面的条件: - 小明小红(满足1) - 每次轮流在当前数上加1~3(满足2) - 当前能进行的操作只取决于这个数本身(也就是这个局面),如果这个数为20,可操作的集合为+{1},如果为12,可操作的集合为+{1,2,3}(满足3) - 如果数字已经为21了,则不可能往上在加数字,可操作集合为$\Phi$,当前选手为负(满足4)

必胜点和必败点的概念

  • 必败点(P点) 前一个(previous player)选手将取胜的点称为必败点
  • 必胜点(N点) 下一个(next player)选手将取胜的点称为必胜点

比如现在数字已经为18了,那么当前操作人只要给数字+3则必胜,我们就把在此位置称为必胜点(正常操作情况下,别杠说都18偏要+2。。。。)

必胜点和必败点的性质:

  • 所有的终结点都是必败点
  • 从任何必胜点操作,至少有一种方式进入必败点
  • 无论如何操作, 从必败点都只能进入必胜点.

Sprague-Grundy(SG)定理

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。

Nim和 : 各个数相异或的结果

SG函数

先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。 对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 $S$是 $x$ 后继状态的$SG$函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 $SG(a),SG(b),SG(c)$,那么$SG(x) = mex${$SG(a$,$SG(b)$,$SG(c)$}。 这样 集合$S$ 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 $SG(x) = 0$,当且仅当 x 为必败点P时。


取石子问题 有1堆n个的石子,每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

SG[0]=0,f[]={1,3,4}

x=1 时,可以取走1 - f{1}个石子,剩余{0}个,所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时,可以取走2 - f{1}个石子,剩余{1}个,所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时,可以取走3 - f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时,可以取走4- f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时,可以取走5 - f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推….. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…. SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1….

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤,那么计算1~n的SG函数值步骤如下:

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算,也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值,将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤,就完成了 计算1~n 的函数值。

模板如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
//f[N]:可改变当前状态的方式,N为方式的种类,f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
//因为SG[0]始终等于0,所以i从1开始
for(i = 1; i <= n; i++){
//每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
memset(S,0,sizeof(S));
for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记
for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
SG[i] = j;
break;
}
}
}

其实不难发现,Nim游戏就是一个很典型的用SG定理解决的问题,因为Nim游戏在一堆n个石子中可以取1-n个石子,所以单独这一堆石子的SG值为$mex(n-1,n-2,n-3,…,n-n) = n$,根据SG定理,每一堆石子总数相互异或即为答案


本文是参考其他博文+自己理解,整理而来,现附上参考博文链接:

https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495

https://blog.csdn.net/SM_545/article/details/77340690

觉得文章不错的话可以请我喝一杯茶哟~
  • 本文作者: bestsort
  • 本文链接: https://bestsort.cn/2019/04/27/378/
  • 版权声明: 本博客所有文章除特别声明外,均采用 BY-SA 许可协议。转载请注明出处!并保留本声明。感谢您的阅读和支持!
-------------本文结束感谢您的阅读-------------